Анатолий Баскаков родился 5 июля 1950 года в Улан-Удэ. В 1972 году окончил Восточно-Сибирский государственный институт культуры, в 1979 году – аспирантуру Государственного института театрального искусства в Москве. Доцент Восточно-Сибирской академии культуры и искусств.

В 1979 – 1988 годы – старший преподаватель, руководитель курсов театрального отделения Восточно-Сибирского государственного института культуры.

С 1980 года – художественный руководитель, директор и главный режиссер улан-удэнского Молодежного художественного театра.

Заслуженный деятель искусств Российской Федерации. Заслуженный деятель искусств Республики Бурятия. Лауреат премии комсомола Бурятии. Лауреат Всероссийского конкурса «Окно в Россию» в номинации «Театр года».

Приказом министерства культуры Республики Бурятия от 11 января 2011 года Анатолий Баскаков назначен на должность художественного руководителя Государственного русского драматического театра им. Н.Бестужева.